Blog de Mecânica Quântica 1 da Pós - 2013.1

As notas já estão disponíveis aqui.

Hoje resolvemos vários problemas como revisão para a prova de amanhã.

• Simetria de paridade; discutimos o exemplo do poço duplo simétrico e a quebra espontânea de simetria.
• Vimos as regras de seleção associadas a operadores pares e ímpares, e funções de onda idem.
• Discutimos potenciais periódicos, e simetria sob translações discretas. Provamos o teorema de Bloch, que mostra qual a forma das autofunções simultâneas de energia e do operador de translações discretas.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 5, páginas 7 a 10, e duas páginas extras sobre simetria de translação discreta e teorema de Bloch.

Nossa última aula do semestre será na quarta-feira 17/5, resolveremos alguns problemas como revisão para a 3a prova.

Neste semestre não tivemos tempo de ver teoria de perturbação independente do tempo, recomendo a leitura da revisão curta que tenho sobre o assunto, minhas 14 páginas de notas de aula do cap. 6.

• Simetrias na mecânica clássica: como aparecem no formalismo Lagrangeano.
• Simetrias na mecânica quântica: operadores unitários que comutam com a Hamiltoniana. Vimos que isso garante que o gerador do op. unitário também vai comutar, o que leva à conservação dessa grandeza.
• Simetrias e degenerescência da energia: vimos que os estados obtidos aplicando o op. de simetria a um autoestado da Hamiltoniana corresponde a um auto-estado com a mesma energia. Isso facilita caracterizar a degenerescência de certos auto-estados, sabendo-se as simetrias da Hamiltoniana.
• Exemplo de simetria discreta: simetria de paridade, ou inversão espacial. Estudamos propriedades do operador de paridade (ele ao quadrado é a identidade, espectro +-1, etc); vimos sua atuação sobre o momento angular, momento, posição, harmônicos esféricos.
• Provamos que se a Hamiltoniana tem simetria de paridade, os auto-estados não-degenerados de energia têm paridade definida.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 5, páginas 1 a 7.

Um lembrete em relação ao fim do curso. Temos aula extra na segunda 15/7, uma última aula de revisão na quarta 17/7, prova na quinta 18/7 às 9h, e prova de reposição na segunda-feira 22/7 às 9h.

• Definição de operadores escalares: invariantes por rotações.
• Definição de operadores vetoriais: os valores esperados de seus 3 componentes se transformam sob rotações como vetores.
• Analisando o efeito de rotações infinitesimais sobre operadores vetoriais, encontramos as regras de comutação dos com ponentes de um operador vetorial com os componentes do momento angular, que devem valer para qualquer operador vetorial.
• Analisamos como a natureza escalar ou vetorial de operadores automaticamente determina que vários elementos de matriz de sua representação na base de momento angular são nulos. Operadores escalares são proporcionais à identidade, sendo portanto diagonais nessa base.
• Operadores vetoriais, por sua vez, devem obedecer a regras de seleção, que obtivemos explicitamente (página 34 das notas de aula).
• Além de encontrar essas regras de seleção (que anulam certos elementos de matriz dos operadores), descobrimos também que os elementos de matriz não-nulos são iguais a uma constante de proporcionalidade (dependente de j) vezes o elemento correspondente do momento angular. Esse teorema é a versão para operadores vetorias de um teorema mais geral, conhecido como teorema de Wigner-Eckart.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 4, páginas 29 a 36.

• Adição de momento angular. O que é o problema, dois exemplos simples: adição de dois spins 1/2, e adição de momento angular orbital e momento angular de um spin 1/2.
• Resolvemos com cuidado o problema de dois spins 1/2.
• Teoria formal. 3 propriedades dos coeficientes de Clebsch-Gordan.
• Aprendendo a usar uma tabela de coeficientes de Clebsch-Gordan, atividade envolvendo a solução em grupos de dois problemas de adição de momento angular.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 4, páginas 22 a 28d.

• Usamos os operadores-escada para encontrar os autovalores de J^2 e J_z. A partir daí, obtemos os elementos de matriz de J^2, J_z, J_x, J_y.
• Discutimos sobre o operador de rotação para qualquer dimensão do espaço de Hilbert. Representando uma rotação com os ângulos de Euler, vemos que o único cálculo que precisamos fazer para encontrar os elementos de matriz do operador de rotação geral é encontrar os elementos de matriz do operador de rotação em torno do eixo y. Fizemos este cálculo para spin 1/2 e spin 1.
• Momento angular orbital: definição; mostramos que satisfazem as relações de comutação do momento angular. Vimos como age o operador de rotação infinitesimal, e como representar J_z, J_x, J_y e J^2 em coordenadas esféricas.
• Propriedades dos harmônicos esféricos, e como eles aparecem na solução de problemas com potencial central.
• Vimos como certos elementos de matriz dos operadores de rotação são relacionados aos harmônicos esféricos.

O que vimos nestas aulas corresponde às notas de aula do cap. 4, páginas 9 a 21.

• Momento angular. Revisão de operadores de rotação e não-comutação de momentos angulares. Rotações infinitesimais na mec. clássica e MQ, vimos que os geradores das rotações na MQ são os componentes do momento angular. Relação de comutação fundamental para os componentes do momento angular.
• Precessão de spin 1/2 em campo magnético constante. Vimos que o operador de evolução temporal é o operador de rotação. Vimos também que depois de rotação de uma volta, os vetores de estado de um spin 1/2 ganha uma fase -1.
• Definimos os operadores-escada para o momento angular, estabelecemos suas relações de comutação com J^2 e J_i. Mostramos que ao atuar com op. escada em auto-estados de J^2 e J_z, temos auto-estados de J^2 com o mesmo autovalor, e de J_z com autovalores aumentam (ou diminuem) de , justificando o nome de “operadores-escada”. Isso vai nos ajudar a encontrar o espectro de J^2 e J_z na próxima aula. A ideia é construirmos uma base de autovetores simultâneos de J^2 e J_z.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 4, páginas 1 a 9.

Lembro que não teremos aulas na semana que vem (29 e 31/6), pois estarei viajando numa conferência. Nossa próxima aula será no dia 3/7.

Hoje discutimos os problemas da segunda prova e vimos o efeito Aharonov Bohm.

Notas de aula: cap. 3, páginas 40 e 41.

Hoje tivemos a nossa segunda prova.

• Hoje fizemos vários problemas das listas e outros livros, como revisão para a prova da próxima sexta-feira.

• Transformações de calibre no eletromagnetismo + MQ. Vimos que quando os potenciais vetor e escalar mudam com transformação de calibre, a função de onda deve também mudar, para satisfazer a eq. de Schrodinger. Ela ganha uma fase, que depende da transformação de calibre usada.
• Vimos que o momento mecânico é invariante de calibre, mas calculamos como muda o momento canônico e vimos que ele depende da transformação, logo não é uma quantidade física, mensurável.
• Discutimos os problemas da lista 4 de exercícios. Na próxima aula vamos discutir problemas da lista 5 e outros, como revisão para a P2 na sexta-feira.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 36 a 39.

• Passamos metade da aula, mais ou menos, discutindo os problemas da lista 3.
• Depois voltamos a estudar transformações de calibre na MQ. Escrevemos a Hamiltoniana clássica de uma partícula em campo eletromagnético. Encontramos a equação de movimento para dx/dt e para sua derivada segunda também, e vimos que ela é expressa em termos do momento mecânico, um operador que é combinação linear do momento canônico e do potencial vetor.
• Deduzimos a equação de continuidade da densidade de probabilidade e da corrente de probabilidade, e depois discutimos como ela pode ser adaptada para a situação de partícula carregada em campo eletromagnético.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 33 a 35.

Sobre a próxima semana: teremos sim aula extra na segunda-feira 10/6, 14-16h. A matéria da P2 incluirá também a parte sobre potenciais e transformações de calibre, que devemos terminar na segunda-feira. Também na segunda planejo discutir problemas da lista 4, e na quarta-feira a lista 5 deve ser entregue no início da aula, pois discutiremos problemas dessa lista. A matéria que vimos em sala de aula até a aula de hoje já dá para resolver completamente a lista 5.

• Princípio da incerteza energia/tempo. Vimos que essa relação não tem o mesmo status do princípio de incerteza generalizado, pois o tempo não é um observável em MQ. No entanto, provamos uma relação muito parecida com o PI generalizado, em que aparece um que definimos de maneira apropriada. Esse foi definido para quantificar o tempo necessário para uma mudança significativa no valor esperado de um observável Q em particular (vejam as notas de aula para a definição precisa). Na próxima lista de exercícios, que já está disponível, há uma definição alternativa de um princípio de incerteza energia/tempo. Discutimos duas aplicações do princípio.
• Potenciais e transformações de calibre: começamos discutindo o que muda na situação, como descrita pela mecânica quântica, de um sistema quando a energia potencial muda de uma constante. Vimos que a função de onda ganha uma fase proporcional a essa constante. Se essa fase é uma fase global, nenhuma previsão física sobre o sistema é afetada por essa adição. Esse é o nosso primeiro exemplo de transformação de calibre.
• Vimos então que diferenças de potencial são observáveis, já que levam a uma fase (local) diferente em cada parte do sistema.
• Passamos a discutir o efeito não-trivial da gravidade na mecânica quântica. Vimos que se um interferômetro de nêutrons tem um braço mais elevado do que outro, a fase ganha pelos nêutrons se propagando em cada braço do interferômetro é diferente, levando a uma figura de interferência na região onde os feixes são recombinados. Esse efeito quântico da gravidade foi medido por Colella, Overhauser e Werner em 1975.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 14 e 15, e 29 a 32.

• Hoje estudamos estados coerentes do OH. Começamos resolvendo o OH clássico. Em seguida resolvemos o OH quântico, e impusemos que queríamos que os valores esperados x(t), p(t) e E fossem os valores clássicos. Mostramos que isso é conseguido se o estado inicial do OH quântico for um auto-estado do operador de aniquilação, com autovalor correspondente às condições iniciais do OH clássico.
• Encontramos a expansão de estados coerentes na base de auto-estados da energia.
• Encontramos a energia de um estado coerente, e o auto-valor de energia mais provável.
• Vimos que estados coerentes são o estado fundamental do OH transladado. Essa translação é uma generalização das translações no espaço real, que já estudamos. Aqui temos translações no espaço de fase, ou seja, transformações unitárias que além de transladar a função de onda, dá a ela um dado momento inicial também.
• Vale a pena brincar um pouco com o applet simulador de vários sistemas 1D do Falstad, disponível aqui. Por exemplo, você pode selecionar o OH, criar o estado fundamental e deslocá-lo para um lado - você vai ver como o estado oscila sem mudar a forma. No mesmo site há applets mais sofisticados de simulação de sistemas quânticos 3D, como o átomo de Hidrogênio.
• Na próxima lista de exercícios vocês vão mostrar que ao ser iniciado num estado coerente, o OH quântico continua sendo um estado coerente. Outra coisa a ser provada é que estados coerentes também são estados de incerteza mínima, mas isso é fácil.

A aula de hoje corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 23 a 28. OBS: a lista 5 já está disponível, ela deve ser devolvida no dia 12/6, no início da aula.

• OH quântico: encontramos o estado fundamental. Vimos como encontrar os estados excitados.
• Discutimos um pouco sobre o efeito Casimir.
• Calculamos as variâncias de x e p para o estado fundamental. Vocês vão fazer o mesmo para outros auto-estados de energia na próxima lista, que já está disponível.
• Encontramos as expressões para os observáveis x(t) e p(t) do OH de duas formas: usando as equações de movimento de Heisenberg, e calculando diretamente os observáveis a partir do operador de evolução temporal e da fórmula de Baker-Hausdorf-Campbell. Na próxima aula vamos estudar estados coerentes do OH.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 19 a 22.

• Usamos a descrição de Heisenberg para resolver o problema da partícula 1D com potencial arbitrário. Para essa situação, mostramos o teorema de Ehrenfest: os valores esperados da MQ seguem as trajetórias clássicas.
• Na representação de Heisenberg, os observáveis mudam com t. Logo, seus autovetores também, e eles formam uma base. Vimos como é a dependência temporal desses vetores-base.
• Começamos a resolver o problema do oscilador harmônico quântico unidimensional. Introduzimos os operadores e o operador número , e vimos que a Hamiltoniana é proporcional ao operador N, logo para encontrar os auto-estados de H, basta encontrar os auto-estados de N. Vimos o efeito de sobre os auto-estados de N, o que justifica seus nomes de operador de aniquilação e criação. Encontramos o espectro de N, logo o espectro de energia do OH. Na próxima aula vamos achar as funções de onda que são auto-estados de energia.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 11 a 13 e 16 a 18.

• Vimos que os auto-estados de H têm valores esperados que não mudam com t, e por isso são chamados de estados estacionários. Isso deixa de ser verdade, claro, quando temos superposições arbitrárias de auto-estados de H com autovalores diferentes.
• Exemplo de dinâmica: precessão de spin 1/2 sob campo magnético constante.
• Duas descrições diferentes, mas equivalentes, para a dinâmica quântica: descrição de Schrodinger e de Heisenberg.
• Encontramos a equação de movimento para os observáveis na descrição de Heisenberg.
• Partícula livre: resolvemos as equações de movimento para encontrar x(t) e p(t) para a partícula livre, na descrição de Heisenberg. Vimos um resultado simples: que a variância de x de uma função de onda descrevendo uma partícula livre aumenta linearmente com t.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 5 a 10.

Lembro que teremos uma aula extra na próxima segunda-feira, 27/5, no horário 14-16h.

• Passamos uma parte da aula revendo os problemas da P1.
• Começamos a estudar o cap. 3 das notas de aula: dinâmica quântica. Achamos o operador de evolução temporal na MQ, com a mesma forma do outro operador de transformações contínuas que já estudamos, o operador de translação. O operador de evolução temporal é gerado pelo operador Hamiltoniano do sistema.
• Usando a forma do operador infinitesimal de evolução temporal, encontramos uma equação diferencial que é satisfeita pelo operador de evolução temporal: a equação de Schrodinger (para operadores). Dela, encontramos a equação de Schrodinger para estados.
• Em seguida analisamos 3 casos de dependência temporal de H: independente do tempo; dependente do tempo mas de forma que H(t) comuta com H(t'); e com dependência temporal arbitrária. Encontramos a solução formal nos dois primeiros casos, mostrei a solução formal no 3o, sem justificar (fórmula de Dyson).
• Analisamos a dependência temporal de autoestados de H.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 3, páginas 1 a 5.

Hoje tivemos a P1, as notas já estão disponíveis.

Hoje resolvemos vários problemas e tiramos dúvidas, antes da prova na próxima sexta-feira.

• Desigualdades de Bell: definimos a desigualdade CHSH, vimos que a mecânica quântica viola a desigualdade, discutimos as hipóteses usadas para a derivação das desigualdades, e como podemos violar as desigualdades usando, por exemplo, comunicação.
• Em geral, já sabemos que um subsistema de um sistema composto emaranhado não tem uma descrição como um vetor no espaço de Hilbert (não é um estado bem-definido, como costumo dizer). Agora vimos que podemos descrever o estado de qualquer subsistema com uma matriz densidade, a chamada matriz densidade reduzida, obtida a partir da matriz densidade do sistema global fazendo a operação de traço parcial, que expliquei como funciona. Fizemos dois exemplos desse processo.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 2, páginas 1 a 4 (da parte de desigualdades de Bell), e 13 a 15 (do corpo do capítulo).

• Passamos pouco mais de metade da aula discutindo os problemas da lista 2.
• Voltando aos sistemas quânticos compostos: como definir o produto tensorial para criar bases para o espaço de Hilbert, e para descrever operadores no sistema composto.
• Estados emaranhados e estados produto: definição, provamos que um certo estado é emaranhado, discutimos propriedades e aplicações de estados emaranhados.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 2, páginas 10 a 12.

• Formalismo do operador densidade: como definir o operador densidade, de forma ao seu valor esperado dar o valor esperado de um ensemble estatístico de estados puros.
• 3 propriedades que definem o operador densidade: positividade, hermiticidade, traço=1.
• Propriedades do espectro de uma matriz densidade qualquer. Como distinguir um operador densidade misto de um puro. Exemplos de operadores densidade.
• Começamos a discutir como descrever sistemas compostos em MQ.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 2, páginas 2 a 10.

• Vimos como encontrar a função de onda no espaço dos momentos; ela e a função de onda no espaço das posições são relacionadas pela transformada de Fourier (e sua inversa).
• Exemplo: calculamos a função de onda no espaço dos momentos para funções de onda Gaussianas; vimos que elas representam estados de incerteza mínima.
• Discutimos brevemente como fica a generalização da descrição de uma partícula livre para se movimentar no espaço tridimensional.
• Começamos a discutir o capítulo 2, motivando a necessidade de uma nova maneira de representar estados quânticos, que sirva para descrever misturas estatísticas de estados puros (puro=descrito por um vetor no espaço de Hilbert), e que também sirva para descrever subsistemas de um sistema quântico.
• Reescrevemos a regra de cálculo de probabilidades na MQ usando o traço, como preparação para aprendermos o formalismo dos operadores densidade.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 54 a 58, e cap. 2, página 1.

• Fizemos uma pequena revisão do que tínhamos visto na última aula, em particular sobre o operador de translação infinitesimal e finito.
• Listei a definição de grupo matemático, e passamos um bom tempo discutindo exemplos de subgrupos, grupos de simetria, etc. Isso foi um parêntesis matemático, mas será útil quando estudarmos simetrias. Reparem que há um erro no exemplo a) da página 49-c do cap. 1, vocês encontraram? Estas notas de aula me pareceram ter o nível adequado, deem uma olhada.
• Voltando à partícula em 1D, vimos como encontrar elementos de matriz do operador p, e com isso encontramos a representação do operador p na base de auto-estados de posição.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 50 a 53.

• Na última aula começamos a estudar translações. Antes de prosseguirmos, vimos algumas propriedades gerais de transformações de estados representadas por parâmetros contínuos. Exemplos: translações, evolução temporal, rotações. Estudando grupos contínuos de transformações parametrizadas por um parâmetro contínuo, encontramos a forma do operador de transformação infinitesimal, e também a forma do operador de transformação finita. Encontramos também o comutador do gerador das translações com o operador posição.
• Voltando às translações, comparamos o operador quântico de translação infinitesimal com a função geradora de translações infinitesimais em mecânica clássica, para encontrar a identidade do gerador das translações: é o momento (devidamente multiplicado por 1/). Como já sabíamos o comutador de K com x, encontramos a relação de comutação fundamental entre x e p. Aplicamos o princípio de incerteza generalizado para achar a tradicional relação entre variâncias de x e p.
• Vimos que a comutação de translações (em mecânica clássica) leva, na MQ, à comutação dos diferentes componentes do momento p. Com isso, podemos definir uma base para os estados de uma partícula, consistindo nos auto-estados simultâneos de p_x, p_y e p_z.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 45 a 50.

• Relembramos a interpretação correta da relação de incerteza de Heisenberg, dada em termos de variâncias de resultados de duas medidas incompatíveis.
• Vimos que existe uma relação entre incerteza, erro e perturbação de medidas conjuntas de observáveis incompatíveis, a relação de Ozawa, provada rigorosamente em 2003.
• Discutimos mudança de base, mostramos que ela é feita usando um operador unitário.
• Vimos algumas propriedades do Traço, em particular vimos que ele é independente da base usada.
• Observáveis equivalentes são aqueles relacionados por uma transformação unitária. Provamos que observáveis equivalentes têm o mesmo espectro.
• Começamos a discutir a mecânica quântica de espaços de Hilbert contínuos, descrevendo uma partícula. Vimos como as expressões discretas podem ser reescritas para lidar com esse novo espaço de Hilbert.
• Discutimos a descrição de uma partícula e o que acontece numa medida de posição, necessariamente com precisão finita.
• Começamos a estudar translações, nosso primeiro exemplo de simetria em mecânica quântica, e que nos ajudará a encontrar a forma do operador momento na representação de posições (i.e., quando usamos a base de auto-estados do operador posição, que postulamos serem completos para descrever uma partícula).

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 37 a 44.

Esta aula também foi mais longa (aprox. 2h50), nesta semana vimos o equivalente a 3 aulas, daí a numeração estranha acima.

• Vimos exemplos de conjuntos compatíveis de observáveis, e discutimos o significado dos auto-estados comuns de tais observáveis.
• Discutimos o que esperar de medidas sequenciais de observáveis compatíveis.
• Discutimos o que esperar de observáveis não-compatíveis. Em particular, vimos que fazer uma medida e descartar o resultado *não* é equivalente a não fazer uma medida - isto é uma consequência elementar do nosso postulado sobre o estado pós-medida.
• Provamos a relação de incerteza generalizada, e discutimos seu significado. Ao contrário do que às vezes encontramos, o significado não é diretamente relacionado à perturbação que a medida A faz sobre os valores esperados de um outro observável B que não comuta com A. A interpretação correta, bem-justificada, é simplesmente sobre a impossibilidade de termos as duas variâncias simultaneamente muito pequenas, para medidas de observáveis que não comutam feitas em dois diferentes sub-ensembles idênticos de um sistema.
• Também é possível provar uma desigualdade que quantifica o efeito “perturbador” de um observável sobre os valores de um outro observável. Em 2003 Ozawa provou rigorosamente uma desigualdade assim, que ficou conhecida como Relação de medida/perturbação, que veio corrigir essa interpretação errônea da desigualdade de Heisenberg. Em 2012 foi feito um experimento fotônico que mediu essa relação de Ozawa, confirmando as predições da MQ e esclarecendo essa confusão.

O que vimos corresponde ao cap. 1, páginas 29 a 36.

Querem ler sobre um efeito quântico estranho? Uma sugestão é o começo deste artigo, que explica o gedankenexperiment do teste de bombas de Elitzur/Vaidman. Este efeito é a base para outros desenvolvimentos, mais recentemente este protocolo de comunicação quântica contra-factual (em certo sentido, sem transmissão de fótons ou outro subsistema! A expressão chave aqui é “em certo sentido”).

Esta aula foi mais longa (2h45 aproximadamente), para começar a compensar o atraso no início das aulas. Será o caso também da próxima aula.

• Vimos exemplos de representação espectral, representação por matrizes e ação de operadores, usando spins 1/2. Encontramos a forma dos operadores S_z e os operadores de subida S_{+} e S_{-}.
• Vimos o postulado 2, sobre a representação de medidas em mecânica quântica: como calcular as probabilidades. Definimos o valor esperado (= valor médio dos resultados de medida) de um operador e achamos uma fórmula simples para ele em mecânica quântica.
• Vimos o postulado 3, sobre o estado pós-medida do sistema: ele assume a identidade (“colapsa”) do autoestado correspondente ao autovalor obtido na medida.
• Vimos as propriedades que definem um operador de projeção, e mostramos vários exemplos. Usamos operadores de projeção mais gerais para generalizar o postulado 2 e 3 para o caso de autovalores degenerados.
• A partir do experimento básico do Stern-Gerlach sequencial (medir um componente de S, e em seguida um outro componente perpendicular ao primeiro), obtivemos os autoestados de S_x e S_y na base de S_z, portanto também obtivemos os operadores S_x, S_y e S^2 para um spin 1/2.
• Definimos observáveis compatíveis, e provamos que se A e B comutam, então os auto-estados de A também são auto-estados de B. Fizemos isso para o caso de A não-degenerado, mas isso vale também para o caso degenerado, com a adaptação que temos que construir, em cada sub-espaço degenerado, os autovetores simultâneos dos dois operadores. Para uma prova disso, veja o cap. 2, seção 3.a. do vol. 1 do Cohen-Tannoudji. Na lista 1 vocês encontram um exemplo desse caso.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 20 a 29.

• Definimos o conjugado Hermitiano de um operador a partir da ação dos operadores em bras.
• Vimos algumas propriedades do conjugado Hermitiano, e definimos operadores Hermitianos como aqueles que são iguais ao seu conjugado Hermitiano.
• Definimos o produto externo ket-bra, e calculamos seu conjugado Hermitiano.
• Teoremas sobre operadores Hermitianos: autovalores são reais, e autovetores correspondentes a autovalores diferentes são ortogonais entre si. Vimos que podemos usar os autovetores de ops. Hermitianos como base; isso só pode falhar, às vezes, no caso de espaços de Hilbert de dimensão infinita.
• Discutimos a representação de bras, kets e operadores como matrizes; e provamos o teorema espectral.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 10 a 19. Lembrem que como combinamos, as próximas duas aulas devem ter 2h45, para ajudar a recuperar as aulas perdidas pelo início retardado pela greve.

Hoje continuamos discutindo as bases matemáticas da MQ.

• Atividade sobre axiomas de espaços vetoriais, e exemplos.
• Relembramos as propriedades do produto escalar, e vimos 2 teoremas sobre produtos escalares: teorema de Schwarz e desigualdade triangular. Na verdade, usamos Schwarz para provar a desigualdade triangular; mais adiante veremos uma prova de Schwarz.
• Introduzimos o espaço vetorial dual ao dos kets, que é o dos bras, que são funcionais lineares no espaço dos kets.
• Começamos a discutir operadores: operador nulo, (não-)comutatividade, e vimos com detalhes que operadores lineares em espaços de Hilbert finitos são representados por matrizes quadradas.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 5b, 7, 8, 9. A primeira lista de exercícios já está disponível.

Bem-vindos ao curso de Mecânica Quântica 1! Vejam na página inicial as datas provisórias das provas, na semana que vem vamos marcar as aulas extras.

O que vimos hoje:

• Discutimos o experimento de Stern-Gerlach e como ele ilustra várias características contra-intuitivas da mecânica quântica.
• Introduzimos o postulado 1 da MQ, sobre a descrição de estados de sistemas quânticos. Modificamos o postulado para levar em conta normalização e fases globais.

O que vimos corresponde às notas de aula do cap. 1, páginas 1 a 6.

Mencionei medidas quânticas generalizadas (conhecidas como POVMs- Positive Operador-Valued Measures), para ler mais a respeito vejam estas notas de aula, a partir da página 15.

Deem uma olhada em alguns links que colecionei, relacionados à matéria do curso.